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如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点

题目简介

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点

题目详情

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2

的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝

，M，N分别为PB，PD的中点．

(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

(1)只需证 MN∥BD；(2)

。

试题分析：(1)如图，连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD.
又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.
(2)如图建系：A(0,0,0)，P(0,0,2

)，M

，N(

，0，

)，C(

，3,0)．
设Q(x，y，z)，则C

＝(x－

，y－3，z)，C

＝(－

，－3，2

)．
∵C

＝λC

＝(－

λ，－3λ，2

λ)，∴Q(

－

λ，3－3λ，2

λ)．
由A

⊥C

⇒A

·C

＝0，得λ＝

.即：Q

对于平面AMN：设其法向量为n＝(a，b，c)．
∵A

＝

，A

＝(

，0，

)．
则

⇒

⇒

∴n＝

.
同理对于平面QMN，得其法向量为v＝

记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为θ，则cosθ＝

.
∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为

.
点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。

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