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若a、b是正数，则(3a+1b)2+(3b+1a)2的最小值为______．-数学

题目简介

若a、b是正数，则(3a+1b)2+(3b+1a)2的最小值为______．-数学

题目详情

若a、b是正数，则(3a+
1
b
)2+(3b+
1
a
)2的最小值为______．
题型：填空题难度：中档来源：浦东新区一模

答案

∵a，b是正数，
∴(3a+class="stub"1
b
)2+(3b+class="stub"1
a
)2≥2（3a+class="stub"1
b
）（3b+class="stub"1
a
）=2（9ab+class="stub"1
ab
）+12
等号成立的条件是3a+class="stub"1
b
=3b+class="stub"1
a

解得a=b，①
又（9ab+class="stub"1
ab
）≥2
9ab×class="stub"1
ab
= 6．
等号成立的条件是9ab=class="stub"1
ab
 ②
由①②联立解得x=y=
3
3
，
即当x=y=
3
3
 时，(3a+class="stub"1
b
)2+(3b+class="stub"1
a
)2的最小值为2×+12=24
故答案为：24

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