如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，（Ⅰ）证明PA⊥BF；（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。-高三数学

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如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，（Ⅰ）证明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。

题型：解答题难度：中档来源：安徽省高考真题

答案

解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，△ABF为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，
∴PO⊥平面ABF，
∴AO为PA在平面ABF内的射影；
∵O为BF中点，
∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，
∴平面PBF⊥平面ABC；
而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，
∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，
则AD⊥平面PBF；
又∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴，
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，
则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角平面角，
在△AHO中，OH=，，
在△DHO中，；
而。

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如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，（Ⅰ）证明PA⊥BF；（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。-高三数学

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