如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=3，∠ACB=90°，D为CC1上的点，二面角A-A1B-D的余弦值为-。（1）求证：CD=2；（2）求点A到平面A1BD的距离。-高三数

题目简介

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，AA₁=3，∠ACB=90°，D为CC₁上的点，二面角A-A₁B-D的余弦值为-。

（1）求证：CD=2；
（2）求点A到平面A₁BD的距离。

题型：解答题难度：中档来源：模拟题

解：（1）如图，取AB中点E，A1B1中点G，连接EG，交A1B于F，连接CE、C1G，作DM⊥GE于M ∵平面C1GEC⊥平面A1ABB1， ∴DM⊥平面A1ABB1 作MN⊥A1B于N，连接DN，则MN为DN在平面A1ABB1上的射影，则∠DNM为二面角A-A1B-D的平面角 ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴CD=2。
（2）在△A1BD中，。 ∴，又点D到平面A1AB的距离设点A到平面A1BD的距离为d，则 ∴。