如图,正三棱柱中,侧面是边长为2的正方形,是的中点,在棱上.(1)当时,求三棱锥的体积.(2)当点使得最小时,判断直线与是否垂直,并证明结论.-高三数学

题目简介

如图,正三棱柱中,侧面是边长为2的正方形,是的中点,在棱上.(1)当时,求三棱锥的体积.(2)当点使得最小时,判断直线与是否垂直,并证明结论.-高三数学

题目详情

如图,正三棱柱中,侧面是边长为2的正方形,的中点,在棱上.

(1)当时,求三棱锥的体积.
(2)当点使得最小时,判断直线是否垂直,并证明结论.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(1),(2)垂直,利用线面垂直证明线线垂直

试题分析:(1)因为侧面是边长为2的正方形,


(2)解法1:将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,的中点.连接
中,
中,
在等腰中,
所以由有勾股定理知

解法2:将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,的中点.过点,连接,由知四边形所以.在正三棱柱中知,而,所以.

点评:以棱锥为载体考查立体几何中的线面、面面、点面位置关系或体积是高考的亮点,掌握其判定性质及定理,是解决此类问题的关键

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