（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值
题目简介
（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值
题目详情
如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得
CP⊥面BDC1？并证明你的结论.
答案
（Ⅰ）略
（Ⅱ）
（Ⅲ）略
连接B1C，与BC1相交于O，连接OD
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中点.
∵AB1
∴AB1//面BDC1.…………………………………………4分
（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）……………………5分
设
即
易知
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.
则
∴方程组无解.
∴假设不成立.
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.……………14分