首页 > 已知向量m=(2cosx，1)，向量n=(cosx，3sin2x)，函数f(x)=m•n+20101+cot2x+20101+tan2x．（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；（2）在△

已知向量m=(2cosx，1)，向量n=(cosx，3sin2x)，函数f(x)=m•n+20101+cot2x+20101+tan2x．（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；（2）在△

题目简介

已知向量m=(2cosx，1)，向量n=(cosx，3sin2x)，函数f(x)=m•n+20101+cot2x+20101+tan2x．（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；（2）在△

题目详情

已知向量
m
=(2cosx，1)，向量
n
=(cosx，
3
sin2x)，函数f(x)=
m
•
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
．
（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面积为
3
2
，求
1005(a+c)
sinA+sinC
的值．
题型：解答题难度：中档来源：黄冈模拟

答案

（1）函数f(x)=
m
•
n
+class="stub"2010
1+cot2x
+class="stub"2010
1+tan2x
=2cos2x+
3
sin2x+class="stub"2010
1+cot2x
+class="stub"2010
1+tan2x
 
=1+cos2x+
3
sin2x+2010=2sin（2x+class="stub"π
6
）+2011．
由  2kπ+class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3π
2
，且 x≠kπ，x≠kπ+class="stub"π
2
，k∈z，得 kπ+class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"2π
3
，且x≠kπ+class="stub"π
2
，
∴单调减区间为 （kπ+class="stub"π
6
，kπ+class="stub"π
2
）∪（kπ+class="stub"π
2
，kπ+class="stub"2π
3
）．
（2）f（A）=2012=2sin（2A+class="stub"π
6
）+2011，∴sin（2A+class="stub"π
6
）=class="stub"1
2
，∴A=class="stub"π
3
．
又△ABC的面积为
3
2
=class="stub"1
2
 bcsinA=class="stub"1
2
•1•c•
3
2
，∴c=2．
∴a=
b2+c2-2bc•cosA
=
3
，∴
1005(a+c)
sinA+sinC
=class="stub"1005a
sinA
=
1005×
3
3
2
=2010．

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