首页 > 已知向量p=（-cos2x，a），q=（a，2-3sin2x），函数f（x）=p•q-5（a∈R，a≠0）．（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），

已知向量p=（-cos2x，a），q=（a，2-3sin2x），函数f（x）=p•q-5（a∈R，a≠0）．（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），

题目简介

已知向量p=（-cos2x，a），q=（a，2-3sin2x），函数f（x）=p•q-5（a∈R，a≠0）．（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），

题目详情

已知向量
p
=（-cos 2x，a），
q
=（a，2-
3
sin 2x），函数f（x）=
p
•
q
-5（a∈R，a≠0）．
（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值（不必证明），并求函数y=f（x）的在[0，b]上单调递增区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）=
p
•
q
-5=-acos2x-
3
asin2x+2a-5=-2asin(2x+class="stub"π
6
)+2a-5．…（2分）
因为x∈R，所以-1≤sin(2x+class="stub"π
6
)≤1
当a＞0时，-2a×1+2a-5≤f（x）≤-2a×（-1）+2a-5．
所以f（x）的值域为[-5，4a-5]．…（4分）
同理，当a＜0时，f（x）的值域为[4a-5，-5]．…（6分）
（2）当a=2时，y=f(x)=-4sin(2x+class="stub"π
6
)-1，由题设函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点及函数y=f（x）的最小正周期为π可知，b的值为π．…（8分）
由class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"3π
2
+2kπ，k∈Z，得class="stub"π
6
+kπ≤x≤class="stub"2π
3
+kπ，k∈Z．…（10分）
因为x∈[0，π]，所以k=0，
∴函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[class="stub"π
6
，class="stub"2π
3
]．…（12分）

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