如图,在直四棱柱中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB="4,BC=CD=2,"AA="2,"E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。(Ⅰ)证明:直线∥

题目简介

如图,在直四棱柱中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB="4,BC=CD=2,"AA="2,"E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。(Ⅰ)证明:直线∥

题目详情

如图,在直四棱柱中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB="4,BC=CD=2," AA="2, " E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。               
(Ⅰ)证明:直线∥平面;          
(Ⅱ)求二面角的余弦值
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


(Ⅱ)

解法一:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1,
连接A1D,C1F1,CF1,因为AB="4," CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因为平面FCC平面FCC
所以直线EE//平面FCC.······6分
(2)因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵,    ··········11分

在Rt△OPF中,,,所以
二面角B-FC-C的余弦值为.·······14分

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