如图已知正四棱柱ABCD----A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点。（1）证明：EF⊥平面;（2）求点A1到平面BDE的距离;（3）求BD1与平面BDE所成

题目简介

如图已知正四棱柱ABCD----A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁的中点，点F为BD₁的中点。

（1）证明：EF⊥平面

_;
（2）求点A₁到平面BDE的距离;
（3）求BD₁与平面BDE所成的角的余弦值.

题型：解答题难度：中档来源：不详

(1) 以D为原点，DA、DC、AA1所在直线为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系.
D(0，0，0)，B（1，1，0）
D1（0，0，2），E（0，1，1），F（

，

，1）
∴

=（1，1，0），

=（0，0，2），

=（

，－

，0）

由

=0，

=0，
得，EF⊥DB，EF⊥DD1 ∴EF⊥面D1DB1----------------------------------------------------
(2) 设

=（x,y,z）是平面BDE的法向量，

=(1,1,0)，

=(0,1,1)
由

⊥

得

即

∴取y=1，

=（-1，1，-1）

,由(2)知点

到平面BDE的距离为

----
(3)

=(-1,-1,2)
由(2)知

设直线BD1与平面BDE所成的角的正弦值为

,则sin

,cos

∴直线BD1与平面BDE所成的角的余弦值为

--------------------

略