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已知函数f（x）=-acos2x-3asin2x+2a+b，（a＞0）在x∈[0，π2]时，有f（x）的值域为[-5，1]．（1）求a，b的值；（2）说明函数y=f（x）的图象可以由y=cos2x的图

题目简介

已知函数f（x）=-acos2x-3asin2x+2a+b，（a＞0）在x∈[0，π2]时，有f（x）的值域为[-5，1]．（1）求a，b的值；（2）说明函数y=f（x）的图象可以由y=cos2x的图

题目详情

已知函数f（x）=-acos2x-
3
asin2x+2a+b，（a＞0）在x∈[0，
π
2
]时，有f（x）的值域为[-5，1]．
（1）求a，b的值；
（2）说明函数y=f（x）的图象可以由y=cos2x的图象经过怎样的变换得到；
（3）若g（t）=at2+bt-3，t∈[-1，0]，求g（t）的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：蚌埠二模

答案

（1）由题意得，
f(x)=-acos2x-
3
asin2x+2a+b=-2acos(2x-class="stub"π
3
)+2a+b，
由0≤x≤class="stub"π
2
得，-class="stub"π
3
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"2π
3
，
则-class="stub"1
2
≤cos(2x-class="stub"π
3
)≤1，
又∵a＞0，
∴
f(x)max=3a+b=1
f(x)min=b=-5
，解得
a=2
b=-5
，
（2）由（1）知，
f(x)=-4cos(2x-class="stub"π
3
)-1=4cos(2x+class="stub"2π
3
)-1，
∴由y=cos2x的图象先向左平移class="stub"π
3
个单位，然后横坐标不变、纵坐标变为原来的4倍，
再向下平移1个单位，即可得到函数y=f（x）的图象．
（3）由（1）知，
g(t)=2t2-5t-3=2(t-class="stub"5
4
)2-class="stub"49
8
，
∴当t∈[-1，0]时，g（t）单调递减，
∴g（t）min=g（0）=-3．

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