首页 > 已知向量a=（sin（ωx+φ），2），b=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜π4．函数f（x）=（a+b）•（a-b），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1

已知向量a=（sin（ωx+φ），2），b=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜π4．函数f（x）=（a+b）•（a-b），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1

题目简介

已知向量a=（sin（ωx+φ），2），b=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜π4．函数f（x）=（a+b）•（a-b），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1

题目详情

已知向量
a
=（sin（ωx+φ），2），
b
=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜
π
4
．函数f（x）=（
a
+
b
）•（
a
-
b
），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M（1，
7
2
）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当-1≤x≤1时，求函数f（x）的单调区间．
题型：解答题难度：中档来源：湖北模拟

答案

（1）f（x）=（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=
a
2-
b
2=sin2（ωx+φ）+4-1-cos2（ωx+φ），
=-cos（2ωx+2φ）+3
由题意得周期T=class="stub"2π
2ω
=4，故ω=class="stub"π
4
…（4分）
又图象过点M（1，class="stub"7
2
），所以class="stub"7
2
=3-cos（class="stub"π
2
+2φ）
即sin2φ=class="stub"1
2
，而0＜φ＜class="stub"π
4
，所以2φ=class="stub"π
6

∴f（x）=3-cos（class="stub"π
2
x+class="stub"π
6
）
（2）当-1≤x≤1时，-class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
x+class="stub"π
6
≤class="stub"2π
3

∴当-class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
x+class="stub"π
6
≤0时，即x∈[-1，-class="stub"1
3
]时，f（x）是减函数
当0≤class="stub"π
2
x+class="stub"π
6
≤class="stub"2π
3
时，即x∈[-class="stub"1
3
，1]时，f（x）是增函数
∴函数f（x）的单调减区间是[-1，-class="stub"1
3
]，单调增区间是[-class="stub"1
3
，1]

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