如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1B1C1均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-C的余弦值；（Ⅲ）在直线

解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连结A1O，
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°，
所以A1O2=AA12+AO2-2AA1·AOcos60°=3，
所以AO2+A1O2=AA12，所以A1O⊥AO。
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
所以A1O⊥平面ABCD。
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
 （Ⅰ）由于，
，
∴；
（Ⅱ）由于OB⊥平面，
∴平面的一个法向量为，
设，则，
设，则，
取，
∴，
所以，二面角D-A1A-C的平面角的余弦值为。
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，
设，P（x，y，z），
则，
从而有，
设，则，
又，
设，则，取，
因为BP∥平面DA1C1，则，即，
得，即点P在C1C的延长线上，且。