首页 > 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“

题目简介

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“

题目详情

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
①任意三次函数都关于点（-
b
3a
，f（-
b
3a
））对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为麵y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
，则，g（
1
2012
）+g（
2
2012
）+g（
3
2012
）+…+g（
2011
2012
）=-105.5．
其中正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）．
题型：填空题难度：中档来源：自贡三模

答案

∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″(x)=6a×(-class="stub"b
3a
)+2b=0，
∴任意三次函数都关于点（-class="stub"b
3a
，f（-class="stub"b
3a
））对称，即①正确；
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即②正确；
任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；
∵g（x）=class="stub"1
3
x3-class="stub"1
2
x2-class="stub"5
12
，
∴g′（x）=x2-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=class="stub"1
2
，
∵g（class="stub"1
2
）=class="stub"1
3
×(class="stub"1
2
)3-class="stub"1
2
×(class="stub"1
2
)2-class="stub"5
12
=-class="stub"1
2
，
∴函数g（x）=class="stub"1
3
x3-class="stub"1
2
x2-class="stub"5
12
的对称中心是（class="stub"1
2
，-class="stub"1
2
），
∴g（x）+（g（1-x）=-1，
∴g（class="stub"1
2012
）+g（class="stub"2
2012
）+g（class="stub"3
2012
）+…+g（class="stub"2011
2012
）=-105.5，故④正确．
故答案为：①②④．

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