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已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），数列{an}是各项均不为0的等差数列，点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{bn}满足b1=2，bn≠1，且(bn-bn+1)

题目简介

已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），数列{an}是各项均不为0的等差数列，点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{bn}满足b1=2，bn≠1，且(bn-bn+1)

题目详情

已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），数列{an}是各项均不为0的等差数列，点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{bn}满足b1=2，bn≠1，且(bn-bn+1)•g(bn)=f(
b n
)(n∈N*)．
（I）求an并证明数列{bn-1}是等比数列；
（II）若数列{cn}满足cn=
an
4n-1•(bn-1)
，证明：c1+c2+c3+…+cn＜3．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）因为点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上，所以an2=S2n-1，
令n=1，n=2，可得a12=S1，a22=S3，
∴a12=a1，(a1+d)2=3a1+3d
∴a1=1，d=2（d=-1舍去）
∴an=2n-1；
∵(bn-bn+1)•g(bn)=f(
b n
)(n∈N*)
∴4(bn-bn+1)•(bn-1)=(bn-1)2(n∈N*)
∴
bn+1-1
bn-1
=class="stub"3
4

∴数列{bn-1}是以1为首项，class="stub"3
4
为公比的等比数列；
（II）证明：由上知bn-1=(class="stub"3
4
)n-1
∴cn=
an
4n-1•(bn-1)
=class="stub"2n-1
3n-1

令Tn=c1+c2+c3+…+cn，
则Tn=class="stub"1
30
+class="stub"3
31
+…+class="stub"2n-1
3n-1
①
∴class="stub"1
3
Tn=class="stub"1
31
+class="stub"3
32
+…+class="stub"2n-3
3n-1
+class="stub"2n-1
3n
②
①-②得class="stub"2
3
Tn=class="stub"1
30
+class="stub"2
31
+class="stub"2
32
+…+class="stub"2
3n-1
-class="stub"2n-1
3n
2-
2(n+1)
3n

∴Tn=3-class="stub"n+1
3n-1
＜3
即c1+c2+c3+…+cn＜3．

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