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已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如下表：x…-π40π6π4π234π…y…01120-10…（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3

题目简介

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如下表：x…-π40π6π4π234π…y…01120-10…（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3

题目详情

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如下表：
x…-
π
4
0
π
6
π
4
π
2
3
4
π		…
y…01
1
2
0-10…
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3，f(A)=-
1
2
，求△ABC的面积．
题型：解答题难度：中档来源：日照二模

答案

（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，
函数f（x）的周期为T=class="stub"3π
4
+class="stub"π
4
=π，
所以ω=class="stub"2π
π
=2．
注意到sin(2×(-class="stub"π
4
)+φ)=0，也即φ=class="stub"π
2
+2kπ(k∈Z)，
由0＜φ＜π，所以φ=class="stub"π
2

所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+class="stub"π
2
)（或者f（x）=cos2x）
（Ⅱ）∵f(A)=cos2A=-class="stub"1
2
，∴A=class="stub"π
3
或A=class="stub"2π
3

当A=class="stub"π
3
时，在△ABC中，由正弦定理得，class="stub"BC
sinA
=class="stub"AC
sinB
，
∴sinB=class="stub"AC•sinA
BC
=
2×
3
2
3
=
3
3
，
∵BC＞AC，∴B＜A=class="stub"π
3
，∴cosB=
6
3
，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
3
2
×
6
3
+class="stub"1
2
×
3
3
=
3
2
+
3
6
，
∴S△ABC=class="stub"1
2
•AC•BC•sinC=class="stub"1
2
×2×3×
3
2
+
3
6
=
3
2
+
3
2
；）
同理可求得，当A=class="stub"2π
3
时，
S△ABC=class="stub"1
2
•AC•BC•sinC=class="stub"1
2
×2×3×
3
2
-
3
6
=
3
2
-
3
2
．

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