求360的所有正约数的倒数和.-数学

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求360的所有正约数的倒数和.-数学

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求360的所有正约数的倒数和.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

设正整数a的所有正约数之和为b,d1、d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列,于是d1、=1,d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列,于是d1=1,dn=a,
由于S=class="stub"1
d1
+class="stub"1
d2
+class="stub"1
d3
+…+class="stub"1
dn
中各分数分母的最小公倍数为dn=a,
故S=
dn
dn
+
dn-1
dn
+
dn-2
dn
+…+
d1
dn
=
d1+d2+d3+…dn
dn
=class="stub"b
a

而a=360=23×32×5,
故b=(1+2+22×23)×(1+3+32)×(1+5)=1170,
所以360的所有正约数的倒数和为:class="stub"1170
360
=3class="stub"1
4

故答案为:3class="stub"1
4

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