如图，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一动点（与A，B不重合），∠ACB的平分线交圆O于D．（1）判断△ABD的形状，并证明你的结论；（2）若I是△ABC的内心，当点C运动时，CI、DI中是

题目简介

如图，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一动点（与A，B不重合），∠ACB的平分线交圆O于D．
（1）判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）若I是△ABC的内心，当点C运动时，CI、DI中是否存在长度保持不变的线段？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． 360优课网

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）△ABD是等腰直角三角形．理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴

，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）DI的长度不变，且DI=5

在Rt△ABD中，
∵AD=BD，AB=10，
∴BD=5

，
连接OI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠4=∠5，
∵由（1）可知

，
∴∠1=∠2，
∵∠3是△BCI的外角，
∴∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，
∴DI=BD是定值，即DI=BD=5

．