首页 > 如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求点B到平面DCM的距离．-数学

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求点B到平面DCM的距离．-数学

题目简介

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求点B到平面DCM的距离．-数学

题目详情

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（I）求证：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求点B到平面DCM的距离．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：鹰潭一模

答案


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证明：（Ⅰ）如图，
∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，
∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP，
∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC
∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC，…（6分）
（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有VM-BCD=VB-MDC．
∵AB=10，
∴MB=PB=5，
又BC=3，BC⊥PC，
∴PC=4，
∴S△BDC=class="stub"1
2
S△PBC=class="stub"1
4
PC•BC=3．
又MD=
5
3
2
，
∴VM-BCD=class="stub"1
3
MD•S△BDC=
5
3
2
．
在△PBC中，CD=class="stub"1
2
PB=class="stub"5
2
，
又∵MD⊥DC，
∴S△MDC=class="stub"1
2
MD•DC=class="stub"25
8
3
，
∴VB-MDC=class="stub"1
3
h•S△MDC=class="stub"1
3
•h•class="stub"25
8
3
=
5
3
2

∴h=class="stub"12
5

即点B到平面DCM的距离为class="stub"12
5
．     …（12分）

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