已知函数f(x)=a﹣.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.-高三数学

题目简介

已知函数f(x)=a﹣.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=a﹣
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:山东省月考题

答案

解:(1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=a﹣ ,
设0<x1<x2,则x1x2>0,x2﹣x1>0.
f(x1)﹣f(x2)=(a﹣ )﹣(a﹣ )= ﹣  = <0.
∴f(x1)<f(x2),即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)由题意a﹣ <2x在(1,+∞)上恒成立,
设h(x)=2x+ ,则a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.
可证h(x)在(1,+∞)上单调递增.
故a≤h(1),即a≤3,
∴a的取值范围为(﹣∞,3].

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