如图,三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面AB

题目简介

如图,三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面AB

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如图,三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1).

(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD..
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)见解析(2)λ=
(1)证明:∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC,且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
=λ(0<λ<1),
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD.
∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF.
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解:由(1)知,BE⊥EF,∵平面BEF⊥平面ACD,∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴BD=,AB=tan60°=.
∴AC=.
由AB2=AE·AC,得AE=.∴λ=.
故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD

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