首页 > 设数列{an}，an≠0，a1=56，若以an-1，an为系数的二次方程：an-1x2+anx-1=0（n≥2，n∈N*）都有两个不同的根α，β满足3α-αβ+3β+1=0（1）求证：{an-12}为

设数列{an}，an≠0，a1=56，若以an-1，an为系数的二次方程：an-1x2+anx-1=0（n≥2，n∈N*）都有两个不同的根α，β满足3α-αβ+3β+1=0（1）求证：{an-12}为

题目简介

设数列{an}，an≠0，a1=56，若以an-1，an为系数的二次方程：an-1x2+anx-1=0（n≥2，n∈N*）都有两个不同的根α，β满足3α-αβ+3β+1=0（1）求证：{an-12}为

题目详情

设数列{an}，an≠0，a1=
5
6
，若以an-1，an为系数的二次方程：an-1x2+anx-1=0（n≥2，n∈N*）都有两个不同的根α，β满足3α-αβ+3β+1=0
（1）求证：{an-
1
2
}为等比数列；
（2）求{an}的通项公式并求前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵3（α+β）-αβ+1=0，
∴依题意，得3
an
an-1
-class="stub"1
an-1
=1（n≥2），
∴3an-1=an-1（n≥2），
∴3（an-class="stub"1
2
）=an-1-class="stub"1
2
（n≥2），
∴{an-class="stub"1
2
}是公比为class="stub"1
3
，首项为class="stub"5
6
-class="stub"1
2
=class="stub"1
3
的等比数列；
（2）由（1）知，an-class="stub"1
2
=class="stub"1
3
•(class="stub"1
3
)n-1=(class="stub"1
3
)n，
∴an=class="stub"1
2
+(class="stub"1
3
)n，
∴Sn=a1+a2+…+an
=（class="stub"1
2
+class="stub"1
3
）+（class="stub"1
2
+(class="stub"1
3
)2）+…+（class="stub"1
2
+(class="stub"1
3
)n）
=class="stub"n
2
+
class="stub"1
3
[1-(class="stub"1
3
)n]
1-class="stub"1
3

=class="stub"n+1
2
-class="stub"1
2×3n
．

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