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已知矩阵A=7-96-8，列向量X=xy，Y=2522（1）用逆矩阵方法解方程（组）AX=Y；（2）用特征向量与特征值求A11×-61-41的值．-高二数学

题目简介

已知矩阵A=7-96-8，列向量X=xy，Y=2522（1）用逆矩阵方法解方程（组）AX=Y；（2）用特征向量与特征值求A11×-61-41的值．-高二数学

题目详情

已知矩阵A=
7-9
6-8
，列向量X=
x
y
，Y=
25
22

（1）用逆矩阵方法解方程（组）AX=Y；
（2）用特征向量与特征值求A11×
-61
-41
的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）系数行列式△=|A|=-56-（-54）=-2，矩阵A可逆．
逆矩阵为A-1=-class="stub"1
2
-89
-67
=
4-class="stub"9
2
3-class="stub"7
2
…（3分）
由
7-9
6-8
x
y
=
25
22
，得
x
y
=
4-class="stub"9
2
3-class="stub"7
2
25
22
=
1
-2
…（5分）
∴原方程组的解是
x=1
y=-2
…（6分）
（2）特征矩阵为
7-λ-9
6-8-λ
，特征多项式为（7-λ）（-8-λ）-54，即λ2+λ-2…（8分）
解方程λ2+λ-2=0，求得特征值λ1=1，λ2=-2…（9分）
当λ=1时，对应的特征向量为X1=
3
2

当λ=-2时，对应的特征向量为X2=
1
1
，…（10分）
设
-61
-41
=m
3
2
+n
1
1
，解此方程组得m=-20，n=-1…（11分）
∴A11×
-61
-41
=（-20）×111×
3
2
+（-1）×（-2）11
1
1
=
-60+2048
-40+2048
=
1988
2008
．

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