设函数f(x)=m-x+3,若存在实数a、b(a<b),使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则实数m的取值范围是()A.(-94,-2]B.[-2,-54)C.[-3,-94)D.[-94,-

题目简介

设函数f(x)=m-x+3,若存在实数a、b(a<b),使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则实数m的取值范围是()A.(-94,-2]B.[-2,-54)C.[-3,-94)D.[-94,-

题目详情

设函数f(x)=m-
x+3
,若存在实数a、b(a<b),使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则实数m的取值范围是(  )
A.(-
9
4
,-2
]
B.[-2,-
5
4
C.[-3,-
9
4
D.[-
9
4
,-
5
4
]
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

由x+3≥0可得x≥-3,又由复合函数的单调性可知函数为减函数,
故有f(a)=m-
a+3
=b,f(b)=m-
b+3
=a,
两式相减可得
a+3
-
b+3
=a-b,即
a+3
-
b+3
=(a+3)-(b+3),
a+3
+
b+3
=1,两式相加可得2m=a+b+
a+3
+
b+3
=a+b+1,
记p=
a+3
,q=
b+3
,故有p+q=1,a=p2-3,b=q2-3=(1-p)2-3,
代入可得m=class="stub"a+b+1
2
=p2-p-2=(p-class="stub"1
2
)
2
-class="stub"9
4

又因为p+q=1且pq均为非负数,故0≤p≤1,由二次函数的值域可得:
当p=class="stub"1
2
时,q=class="stub"1
2
,与a<b矛盾,m取不到最小值-class="stub"9
4
,当p=0或1时,m取最大值-2,
故m的范围是(-class="stub"9
4
,-2],
故选A

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