已知集合M是由满足下列性质的函数f（x）的全体所组成的集合：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）指出函数f（x）=1x是否属于M，并说明理由；（2）设函数f（x）=

题目简介

已知集合M是由满足下列性质的函数f（x）的全体所组成的集合：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函数f（x）=

是否属于M，并说明理由；
（2）设函数f（x）=lg

x2+1

属于M，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

：（1）若f（x）=class="stub"1

属于M，则存在x0∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得class="stub"1

x0+1

=class="stub"1

+1，
则x02+x0+1=0，因为方程x02+x0+1=0无解，所以f（x）=class="stub"1

不属于M
（2）由f（x）=lgclass="stub"a

x2+1

属于M知，有lgclass="stub"a

(x+1)2+1

=lgclass="stub"a

x2+1

+lgclass="stub"a

有解，
即（a-2）x2+2ax+2（a-1）=0有解；
当a=2时，x=-class="stub"1

；
当a≠2时，由△≥0，得a2-6a+4≤0，得a∈[3-

，2]∪（2，3+

]，
又因为对数的真数大于0，
所以a＞0
所以a∈[3-

，，3+

]