（本小题满分12分）求证：32n+2-8n–9（n∈N*）能被64整除．-高二数学

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（本小题满分12分）求证：3²ⁿ⁺²-8n–9（n∈N*）能被64整除．

题型：解答题难度：中档来源：不详

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方法1：二项式定理
证明：32n+2-8n–9=9n+1-8n–9=（8+1）n+1-8n–9 ………………………………4分
=8n+1＋

·8n＋…＋

·82＋

·8＋

-8n-9
=82（8n-1+

8n-2+…+

）+8（n+1）+1-8n-9…………………8分
=64（8n-1+

8n-2+…+

） …………………………………10分
∵8n-1+

8n-2+…+

∈Z，
∴32n+2-8n–9能被64整除．                                         …………………………………12分
方法2：数学归纳法
（1）当n=1时，式子32n+2-8n–9=34-8-9=64能被64整除，命题成立．………………2分
（2）假设当n=k时，32k+2-8k-9能够被64整除．      ………………………………4分
当n=k+1时，
32k+4-8（k＋1）-9
=9[32k+2-8k-9]＋64k＋64
＝9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）                                     …………………………………8分
因为32k+2-8k-9能够被64整除，
∴9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）能够被64整除．                    …………………………………10分
即当n=k+1时，命题也成立．
由（1）（2）可知，32n+2-8n–9（n∈N*）能被64整除．……………………………12分

略

上一篇 : .若且，则。-高二数学
下一篇 : 已知展开式中，某一项的系数恰好

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