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> 已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2).(1)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若cn=tn[lg(2t)n+lga
已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2).(1)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若cn=tn[lg(2t)n+lga
题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2).(1)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若cn=tn[lg(2t)n+lga
题目详情
已知数列{a
n
} 的前n项和为S
n
,且有a
1
=2,3S
n
=5a
n
-a
n-1
+3S
n-1
(n≥2).
(1)若b
n
=(2n-1)a
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
;
(2)若c
n
=t
n
[lg(2t)
n
+lga
n+2
](0<t<1),且数列{c
n
} 中的每一项总小于它后面的项,求实数t的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)∵3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2),∴3an=5an-an-1,化为
a
n
=
class="stub"1
2
a
n-1
.
∴数列{an}是以2为首项,
class="stub"1
2
为公比的等比数列,
∴
a
n
=2×(
class="stub"1
2
)
n-1
=22-n.
∴
b
n
=(2n-1)•
2
2-n
.
∴Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+(2n-3)×23-n+(2n-1)•22-n,
2Tn=1×22+3×21+…+(2n-3)•24-n+(2n-1)•23-n.
∴Tn=4+2×21+2×20+…+2×23-n-(2n-1)•22-n.
=
2×
4(1-
class="stub"1
2
n
)
1-
class="stub"1
2
-4-(2n-1)•22-n
=
16(1-
class="stub"1
2
n
)
-4-(2n-1)22-n
=12-
class="stub"16
2
n
-(2n-1)•22-n.
(2)
c
n
=
t
n
[lg(2t
)
n
+lg
2
-n
]
=ntn[lg(2t)-1].
∵cn<cn+1,∴ntn[lg(2t)-1]<(n+1)tn+1[lg(2t)-1].(*)
∵0<t<1,∴0<2t<2,∴lg(2t)<1.
∴(*)化为n>(n+1)t,∴
t<
class="stub"n
n+1
.
∵
class="stub"n
n+1
随着n的增大而减小,
∴
t<
class="stub"1
2
.
而0<t<1.
得到
0<t<
class="stub"1
2
.即为t的取值范围.
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题目详情
(1)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn;
(2)若cn=tn[lg(2t)n+lgan+2](0<t<1),且数列{cn} 中的每一项总小于它后面的项,求实数t的取值范围.
答案
∴数列{an}是以2为首项,
∴an=2×(
∴bn=(2n-1)•22-n.
∴Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+(2n-3)×23-n+(2n-1)•22-n,
2Tn=1×22+3×21+…+(2n-3)•24-n+(2n-1)•23-n.
∴Tn=4+2×21+2×20+…+2×23-n-(2n-1)•22-n.
=2×
=16(1-
=12-
(2)cn=tn[lg(2t)n+lg2-n]=ntn[lg(2t)-1].
∵cn<cn+1,∴ntn[lg(2t)-1]<(n+1)tn+1[lg(2t)-1].(*)
∵0<t<1,∴0<2t<2,∴lg(2t)<1.
∴(*)化为n>(n+1)t,∴t<
∵
∴t<
而0<t<1.
得到0<t<