如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°)。(1)求证:∠EAP=∠

题目简介

如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°)。(1)求证:∠EAP=∠

题目详情

如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°)。
(1)求证:∠EAP=∠EPA;
(2)□APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点),猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论。
题型:解答题难度:偏难来源:福建省中考真题

答案

解:(1)在ΔABC和ΔAEP中,
∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∴∠ACB=∠APE,
在ΔABC中,AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴∠EPA=∠EAP;
(2) 答:□APCD是矩形,
∵四边形APCD是平行四边形,
∴AC=2EA,PD=2EP,
∵由(1)知 ∠EPA=∠EAP,
∴EA=EP,则AC=PD,
∴□APCD是矩形;
(3)答:EM=EN,
∵EA=EP,
∴∠EPA=90°-α,
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°-α)=90°+α,
由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,
∴FP=FB,
∴∠FPB=∠ABC=α,
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-α+α=90°+α,
∴∠EAM=∠EPN,
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∴∠AEP=∠MEN,
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN,
即∠MEA=∠NEP,
∴ΔEAM≌ΔEPN,
∴EM=EN。

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