设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明，{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N+都有。-高三数学

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设数列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一项都不为0，证明，{a_n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N₊都有。

题型：证明题难度：偏难来源：安徽省高考真题

答案

证明：先证必要性：
设数列{an}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立；
若d≠0，
则

；
再证充分性：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N+都成立，
首先，在等式，①
两端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，
记公差为d，则a2=a1+d，
假设ak=a1+(k-1)d，当n=k+1时，观察如下二等式
，②
，③
将②代入③，得，
在该式两端同乘a1akak+1，得(k-1)，
将ak=a1+(k-1)d代入其中，整理，得ak+1=a1+kd，
由数学归纳法原理知，对一切n∈N+，都有an=a1+(n-1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．

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设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明，{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N+都有。-高三数学

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