已知数列的前n项和。(1)令,求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式。(2)令,试比较与的大小,并予以证明。-高一数学
解:(1)在中,令n=1,可得,即,,所以,所以,即,,又,于是,所以。(2)由(1)得,所以, ① ②由①-②得,,所以,,于是确定与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小。 猜想当n=1,2时,2n<2n+1, 当n≥3时,2n>2n+1, 下面用数学归纳法证明:当n=3时,显然成立;则当n=k+1时,,所以当n=k+1时,猜想也成立。 于是,当n≥3,n∈N*时,2n>2n+1成立, 综上所述,当n=1,2时,; 当n≥3时,。
题目简介
已知数列的前n项和。(1)令,求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式。(2)令,试比较与的大小,并予以证明。-高一数学
题目详情
(1)令
(2)令
答案
解:(1)在
中,
,即
,
,
,
,即
,
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,
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,所以
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, ①
②
,
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与
的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小。
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,
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。
令n=1,可得
所以
所以
又
于是
(2)由(1)得
所以
由①-②得,
所以
于是确定
猜想当n=1,2时,2n<2n+1,
当n≥3时,2n>2n+1,
下面用数学归纳法证明:
当n=3时,显然成立;
则当n=k+1时,
所以当n=k+1时,猜想也成立。
于是,当n≥3,n∈N*时,2n>2n+1成立,
综上所述,当n=1,2时,
当n≥3时,