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（本小题15分）在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式并证明，（3）求-高二数学

题目简介

（本小题15分）在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式并证明，（3）求-高二数学

题目详情

（本小题15分）在各项为正的数列中，数列的前n项和满足
（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式并证明，（3） 求
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解：
（1）a1=1，a2=，a3=；
（2）数列{an}的通项公式可能是：an=，证明见解析。
（3）Sn==
本试题主要是考查了数列的通项公式与前n项和的关系式的运用，令值的思想得到前几项，然后归纳猜想数列的通项公式，并运用数学归纳法证明，
（1）由题意可知，那么对于n令值，那么可知a2=
a3=
(2)根据上一问的结论，数列{an}的通项公式可能是：an=，然后运用数学归纳法分两步骤证明即可。
（3）因为通项公式累加可以得到前n项和的结论。
解：
（1）S1=1/2(a1+1/a1)
又S1=a1
故1/2(a1+1/a1)=a1
即a12=1  因为a1>0
故a1=1
S2=1/2(a2+1/a2)
又S2=a1+a2=1+a2
故1/2(a2+1/a2)=1+a2 (a2>0)
解得：a2=
同理：a3=
（2）从（1）中可看出：数列{an}的通项公式可能是：an=
假设an=成立
证明：
① 当n=1时，an=1=     假设成立
② 当n=2时，an==    假设成立
③ 假设n=i时，假设成立，即
ai=
Si=(+()+()+…+()=
那么，当n=i+1时
由sn=1/2(an+1/an)得
Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)
ai+1="Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-"
解得：ai+1= 由①②③可证明假设an=成立
an通项公式为：an=
（3）Sn==

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