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已知(3x-123x)2n展开式中偶数项二项式系数的和比（1+x）n展开式的各项系数和大112．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）在（1）的条件下，求（1-x）2n展开式中系数最大的项；（Ⅲ）在（1）的条件下，求

题目简介

已知(3x-123x)2n展开式中偶数项二项式系数的和比（1+x）n展开式的各项系数和大112．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）在（1）的条件下，求（1-x）2n展开式中系数最大的项；（Ⅲ）在（1）的条件下，求

题目详情

已知(
3x
-
1
2
3x
)2n展开式中偶数项二项式系数的和比（1+x）n展开式的各项系数和大112．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求（1-x）2n展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）在（1）的条件下，求(
3x
-
1
2
3x
)2n展开式中的所有的有理项．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意可得 22n-1=2n=112，22n-2•2n-224=0，解得 n=4．…..（4分）
（2）由n=4，（1-x）2n =（1-x）8，从而，（1-x）8展开式中系数最大的项是：T5=
C48
 （-x）4=70x4．  …（8分）
（Ⅲ）设有理项为第r+1项，则 Tr+1=
Cr8
•(-class="stub"1
2
)r•xclass="stub"r
3
=(-class="stub"1
2
)r•
Cr8
•xclass="stub"8-2r
3
，∴
class="stub"8-2r
3
∈z
0r≤8 ，  r∈z
．
令class="stub"8-2r
3
=k 则，r=4-class="stub"3
2
k，∴k=-2，0，2，即 r=1，4，7．
所以第2项，第5项，第8项为有理数，它们分别是 T2=-class="stub"1
2
C18
•x2=-4x2，T5=(-class="stub"1
2
)4•
C48
•x0=class="stub"35
8
，
T8=(-class="stub"1
2
)7•
C78
•x-2．…..13 分

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