直角三角形两直角边边长分别为3和4,将此三角形绕其斜边旋转一周,求得到的旋转体的表面积和体积.-数学

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直角三角形两直角边边长分别为3和4,将此三角形绕其斜边旋转一周,求得到的旋转体的表面积和体积.-数学

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直角三角形两直角边边长分别为3和4,将此三角形绕其斜边旋转一周,求得到的旋转体的表面积和体积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


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根据题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成
它的底面半径等于直角三角形斜边上的高,高分别等于两条直角边在斜边的射影长
∵两直角边边长分别为3和4,
∴斜边长为
32+42
=5,
由面积公式可得斜边上的高为h=class="stub"3×4
5
=class="stub"12
5

可得所求旋转体的底面半径r=class="stub"12
5

因此,两个圆锥的侧面积分别为
S上侧面=π×class="stub"12
5
×4=class="stub"48π
5
;S下侧面=π×class="stub"12
5
×3=class="stub"36π
5

∴旋转体的表面积S=class="stub"48π
5
+class="stub"36π
5
=class="stub"84π
5

由锥体的体积公式,可得旋转体的体积为V=class="stub"1
3
π×(class="stub"12
5
)2
×5=class="stub"48π
5

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