如图,已知矩形中,为的中点,沿将三角形折起,使.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.-高三数学

题目简介

如图,已知矩形中,为的中点,沿将三角形折起,使.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.-高三数学

题目详情

如图,已知矩形中,的中点,沿将三角形折起,使.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).

试题分析:(Ⅰ)取中点H,先证明垂直于平面,进而证明平面;(Ⅱ)建立直角坐标系,构造向量,平面的法向量,利用公式求解.
试题解析:(Ⅰ)∵在矩形中,的中点,
为等腰直角三角形,
,即.                (1分)
中点H,连结,则
中,,
中,
               (2分)
                 (3分)
,                   (4分)
平面,                  (5分)
∴平面⊥平面.                 (6分)
(Ⅱ)解:分别以直线为x轴和y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

.
 (7分)
设平面的一个法向量为


                       (9分)
为直线与平面所成的角,
               (11分)
即直线与平面所成角的正弦值为        (12分)

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