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已知二项式（x2+12x)n(n∈N*)n（n∈N*）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为______．-高三数学

题目简介

已知二项式（x2+12x)n(n∈N*)n（n∈N*）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为______．-高三数学

题目详情

已知二项式（
x2
+
1
2
x
)n
(n∈N*)n（n∈N*）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

由题意可得前三项的二项式系数和是
C0n
+
C1n
+
C2n
=56，即 1+n+
n(n-1)
2
=56，
解得 n=10．
由于二项式（
x2
+class="stub"1
2
x
)n
(n∈N*)n（n∈N*）展开式的通项公式为 Tr+1=
Cr10
•x20-2r•(class="stub"1
2
)r•x-class="stub"r
2
=(class="stub"1
2
)r•
Cr10
•x20-class="stub"5r
2
．
令20-class="stub"5r
2
=0，求得 r=8，故展开式中的常数项为 (class="stub"1
2
)8•
C810
=class="stub"45
256
，
故答案为 class="stub"45
256
．

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