如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值.-高三数

题目简介

如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值.-高三数

题目详情

如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)   (2)
解:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),∴=(2,0,-4),=(1,-1,-4).

∵cos〈〉=
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),∵=(1,1,0),=(0,2,4),∴n1·=0,n1·=0,即x+y=0且2y+4z=0,取z=1,得x=2,y=-2,∴n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一个法向量.取平面AA1B的一个法向量为n2=(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ.
由cosθ=,得sinθ=.
因此,平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.

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