首页 > 已知向量m=（sinωx，1），n=（3Acosωx，A2cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=m•n的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．（I）求函数f（x）的解析式；（II

已知向量m=（sinωx，1），n=（3Acosωx，A2cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=m•n的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．（I）求函数f（x）的解析式；（II

题目简介

已知向量m=（sinωx，1），n=（3Acosωx，A2cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=m•n的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．（I）求函数f（x）的解析式；（II

题目详情

已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=
m
•
n
的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
6
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）函数f（x）=
m
•
n
=
3
Asinωxcosωx+class="stub"A
2
cos2ωx=A（
3
2
sinωxcosωx+class="stub"1
2
cos2ωx）=Asin（2ωx+class="stub"π
6
），…（3分）
因为函数f（x）的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
所以A=3，函数的周期T=2π，又 T=class="stub"2π
ω
，所以ω=class="stub"1
2
．   …（5分）
所以 f（x）=3sin（x+class="stub"π
6
）．   …（6分）
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移class="stub"π
6
个单位，得到函数 y=3sin[（x+class="stub"π
6
）+class="stub"π
6
]的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 class="stub"1
2
倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=3sin（2x+class="stub"π
3
）的图象．       …（8分）
（1）因为函数y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+class="stub"π
2
，2kπ+class="stub"3π
2
]，（k∈z ），
所以 2kπ+class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"3π
2
，解得 kπ+class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"7π
12
，
所以函数g（x）的单调递减区间为[kπ+class="stub"π
12
，kπ+class="stub"7π
12
]，（k∈z）．…（11分）
（2）当x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]时，2x+class="stub"π
3
∈[class="stub"5π
6
，class="stub"4π
3
]，sin（2x+class="stub"π
3
）∈[-
3
2
，class="stub"1
2
]，g（x）∈[-
3
3
2
，class="stub"3
2
]．
所以函数g（x）在[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]上的值域为[-
3
3
2
，class="stub"3
2
]．    …（14分）

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