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已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。-数学
题目简介
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。-数学
题目详情
已知正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,以顶点
A
为球心,
为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于
。
题型:填空题
难度:中档
来源:不详
答案
如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点
A
所在的
三个面上,即面
AA
1
B
1
B
、面
ABCD
和面
AA
1
D
1
D
上;另一类在不过顶点
A
的三个面上,即面
BB
1
C
1
C
、面
CC
1
D
1
D
和面
A
1
B
1
C
1
D
1上。在面
AA
1
B
1
B
上,交线为弧
EF
且在过球心
A
的大圆上,因为
,
AA
1=1,则
。同理
,所以
,故弧
EF
的长为
,而这样的弧共有三条。在面
BB
1
C
1
C
上,交线为弧
FG
且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为
,
,所以弧
FG
的长为
。这样的弧也有三条。
于是,所得的曲线长为
。
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一扇形铁皮AOB,半径OA="72"cm,
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圆台的一个底面周长是另一个底
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于是,所得的曲线长为