已知四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面AC,且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长;(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小;(3)求证:二面角B—PC

题目简介

已知四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面AC,且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长;(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小;(3)求证:二面角B—PC

题目详情

已知四边形ABCD为直角梯形,ADBC,∠ABC=90°,PA⊥平面AC,且PA=AD=AB=1,BC=2
(1)求PC的长;
(2)求异面直线PCBD所成角的余弦值的大小;
(3)求证:二面角BPCD为直二面角. 
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1) (2) PCBD所成角的余弦值为 (3)证明略
 因为PA⊥平面ACABBC,∴PBBC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=
PC=.
(2)解: 如图,过点CCEBDAD的延长线于E,连结PE,则PCBD所成的角为∠PCE或它的补角.

CE=BD=,且PE=
∴由余弦定理得
cosPCE=
PCBD所成角的余弦值为.
(3)证明:设PBPC中点分别为GF,连结FGAGDF

GFBCAD,且GF=BC=1=AD
从而四边形ADFG为平行四边形,
AD⊥平面PAB,∴ADAG
ADFG为矩形,DFFG.
在△PCD中,PD=CD=FBC中点,
DFPC
从而DF⊥平面PBC,故平面PDC⊥平面PBC
即二面角BPCD为直二面角.
另法(向量法): (略)

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