首页 > 已知函数f（x）=lnsinx+cosxsinx-cosx．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）猜测f（x）的周期并证明；（3）写出f（x）的单调递减区间．-数学

已知函数f（x）=lnsinx+cosxsinx-cosx．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）猜测f（x）的周期并证明；（3）写出f（x）的单调递减区间．-数学

题目简介

已知函数f（x）=lnsinx+cosxsinx-cosx．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）猜测f（x）的周期并证明；（3）写出f（x）的单调递减区间．-数学

题目详情

已知函数f（x）=ln
sinx+cosx
sinx-cosx
．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）猜测f（x）的周期并证明；
（3）写出f（x）的单调递减区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由class="stub"sinx+cosx
sinx-cosx
=class="stub"tanx+1
tanx-1
＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，cosx=0．
∴x＞kπ+class="stub"π
4
，或x＜kπ-class="stub"π
4
，或 x=2kπ±class="stub"π
2
，k∈z，
故函数的定义域为（kπ+class="stub"π
4
，kπ+class="stub"π
2
）∪（ kπ-class="stub"π
2
，kπ-class="stub"π
4
 ），或x=2kπ±class="stub"π
2
，k∈z，故定义域关于原点对称．
∵f（ x）=lnclass="stub"tanx+1
tanx-1
，∴f（-x）=ln class="stub"-tanx+1
-tanx-1
=ln class="stub"tanx -1
1+ tanx
=-ln class="stub"tanx+1
tanx-1
=-f（ x），
故函数f（ x）为奇函数．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，证明如下：
∵f（π+x）=ln
tan(π+x) +1
tan(π+x) -1
=ln class="stub"tanx+1
tanx-1
=f（ x），故函数f（ x）的周期等于π．
（3）f（x）的单调递减区间即函数t=class="stub"tanx+1
tanx-1
=1+class="stub"2
tanx-1
的减区间，即tanx＜-1 或tanx＞1 时的增区间，
故f（x）的单调递减区间为（kπ+class="stub"π
4
，kπ+class="stub"π
2
），（ kπ-class="stub"π
2
，kπ-class="stub"π
4
 ）．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网