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伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用“三个直角三角形的面积和等于一个直角梯形的面积”（如图所示）证明了勾股定理，请你应用此图证明勾股定理．-数学

题目简介

伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用“三个直角三角形的面积和等于一个直角梯形的面积”（如图所示）证明了勾股定理，请你应用此图证明勾股定理．-数学

题目详情

伽菲尔德（ Garfield，1881年任美国第20届总统）利用“三个直角三角形的面积和等于一个直角梯形的面积”（如图所示）证明了勾股定理，请你应用此图证明勾股定理．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：如图，以a，b长为上下底边，以a+b长为高，作梯形ABDE，
即AB⊥BD，ED⊥BD，AB=a，ED=b，在其高BD上再取一点C，使BC=b，连结AC，EC，
在△ABC和△CDE中，
AB=CD
∠B=∠D
BC=DE
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴AC=CE，∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=180°-90°=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，设AC=c，
由梯形ABDE的面积公式得：SABDE=class="stub"1
2
(AB+ED)⋅BD=class="stub"1
2
(a+b)(a+b)=class="stub"1
2
(a+b)2，
梯形ABDE可分成如图所示的三个直角三角形，其面积又可以表示成：S△ABC+S△CDE+S△ACE=class="stub"1
2
ab+class="stub"1
2
ab+class="stub"1
2
c2，
∴class="stub"1
2
(a+b)2=class="stub"1
2
ab+class="stub"1
2
ab+class="stub"1
2
c2，
∴a2+b2=c2．
即在直角△ABC中有a2+b2=c2（勾股定理）．

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