首页 > 已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R（1）求函数图象的对称中心（2）已知cos(β-α)=45，cos(β+α)=-45，0＜α＜β≤π2，求证：[f（β）]2-2=0

已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R（1）求函数图象的对称中心（2）已知cos(β-α)=45，cos(β+α)=-45，0＜α＜β≤π2，求证：[f（β）]2-2=0

题目简介

已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R（1）求函数图象的对称中心（2）已知cos(β-α)=45，cos(β+α)=-45，0＜α＜β≤π2，求证：[f（β）]2-2=0

题目详情

已知函数f（x）=sin（x+
7π
4
）+cos（x-
3π
4
），x∈R
（1）求函数图象的对称中心
（2）已知cos(β-α)=
4
5
，cos(β+α)=-
4
5
，0＜α＜β≤
π
2
，求证：[f（β）]2-2=0．
（3）求f(
π
4
)+f(
2π
4
)+f(
3π
4
)+f(π)+…f(
2011π
4
)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解析：（1）∵f（x）=
2
2
sinx-
2
2
cosx-
2
2
cosx+
2
2
sinx
=
2
（sinx-cosx）
=2sin（x-class="stub"π
4
），
∴x-class="stub"π
4
=kπ，即x=kπ+class="stub"π
4
，
∴（kπ+class="stub"π
4
，0）（k∈Z）为对称中心；
（2）∵0＜α＜β≤class="stub"π
2
，
∴class="stub"π
2
＞β-α＞0，π＞β+α＞0，
∵cos（β-α）=class="stub"4
5
，
∴sin（β-α）=class="stub"3
5
．
∵cos（α+β）=-class="stub"4
5
，
∴sin（α+β）=class="stub"3
5
．
∴sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）=class="stub"3
5
•class="stub"4
5
-（-class="stub"4
5
）•（-class="stub"3
5
）=0，
[f（β）]2-2=4sin2(β-class="stub"π
4
)-2=2[1-cos（2β-class="stub"π
2
）]=-2sin2β=0，
所以，结论成立．
（3）∵f（x）=2sin（x-class="stub"π
4
），
∴f（class="stub"π
4
）+f（class="stub"π
2
）+f（class="stub"3π
4
）+f（π）+f（class="stub"5π
4
）+f（class="stub"6π
4
）+f（class="stub"7π
4
）+f（class="stub"8π
4
）=0，
∴原式=251[f（class="stub"π
4
）+f（class="stub"π
2
）+f（class="stub"3π
4
）+f（π）+f（class="stub"5π
4
）+f（class="stub"6π
4
）+f（class="stub"7π
4
）+f（class="stub"8π
4
）]+f（class="stub"π
4
）+f（class="stub"π
2
）+f（class="stub"3π
4
）
=0+
2
+2
=2+
2
．

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