如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点。（I）证明：D1E⊥A1D；（II）求二面角D1-EC-D的大小；（III）求点D到平面D1EC的距离。-高

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如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E为棱AB的中点。

（I）证明：D₁E⊥A₁D；
（II）求二面角D₁-EC-D的大小；
（III）求点D到平面D₁EC的距离。

题型：解答题难度：中档来源：河北省期末题

答案

解：（Ⅰ）连接A1D，AD1，在长方体中，AE⊥平面AD1，
∴AD1是D1E在平面AD1内的射影，
AD=A1A ，
∴四边形A1DD1A为正方形，
∴AD1⊥A1D，
由三垂线定理：D1E⊥A1D。
（Ⅱ）连接DE，
∵E为AB的重点，
∴AD=AE，EB=BC，
∴∠AED=∠BEC=45°，
∴DD1⊥平面ABCD，
∴D1E⊥EC，
故∠D1ED为二面角D1-EC-D的平面角。
在Rt△D1DE中，DD1=1，DE=，
∴tan∠D1ED=，
故二面角D1-EC-D的大小为。
（Ⅲ）过点D作DF⊥D1E于F，
由（II）可得EC⊥面D1DE，
又EC面D1EC，
∴面D1EC⊥面D1DE，
∴DF⊥面D1EC，
故DF为点D到平面D1EC的距离，
，
∴D1E=，，
故点D到平面D1EC的距离为。

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如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点。（I）证明：D1E⊥A1D；（II）求二面角D1-EC-D的大小；（III）求点D到平面D1EC的距离。-高

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