首页 > 已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，（1）求a3；（2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，…；（3）求

已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，（1）求a3；（2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，…；（3）求

题目简介

已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，（1）求a3；（2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，…；（3）求

题目详情

已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a3；
（2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{an}的通项公式及其前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：天津

答案

（1）由题设得a3a4=10，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10．
若a3=1，则a4=10，a5=class="stub"3
2
，与题设矛盾，
若a3=5，则a4=2，a5=class="stub"35
2
，与题设矛盾，
若a3=10，则a4=1，a5=60，a6=class="stub"3
5
，与题设矛盾，
所以a3=2．
（2）用数学归纳法证明，
①当n=3，a3=a1+2，等式成立，
②假设当n=k（k≥3）时等式成立，即ak=ak-2+2，
由题设ak+1ak=（ak-1+2）（ak-2+2），
∵ak=ak-2+2≠0，∴ak+1=ak-1+2，
也就是说，当n=k+1时，等式ak+1=ak-1+2成立．
根据①和②，对于所有k≥3，有ak+1=ak-1+2．
（3）由a2k-1=a2（k-1）-1+2，a1=0及a2k=a2（k-1）+2，a2=3，
得a2k-1=2（k-1），a2k=2k+1，k=1，2，3，
即an=n+（-1）n，n=1，2，3，
所以Sn=
class="stub"1
2
n(n+1)，当n为偶数
class="stub"1
2
n(n+1)-1，当n为奇数

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