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若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥1n．（n≥2，n∈N）-数学

题目简介

若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥1n．（n≥2，n∈N）-数学

题目详情

若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥
1
n
． （n≥2，n∈N）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

由柯西不等式（a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+an+a1）×(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)
≥（a1+a2+…+an）2=1．
即2(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)≥（a1+a2+…+an）2=1．
(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)≥class="stub"1
2
，
令a1=a2=…=a1=class="stub"1
n
，得a12+a22+…+an2≥class="stub"1
n
． （n≥2，n∈N）．

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