现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击-高二数学

题目简介

现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击-高二数学

题目详情

现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为
3
4
,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为
2
3
,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D
由题意知P(B)=class="stub"3
4
,P(C)=P(D)=class="stub"2
3

由于A=B
.
C
.
D
+
.
B
C
.
D
+
.
B
.
C
D

根据事件的独立性和互斥性得
P(A)=P(B
.
C
.
D
)+P(
.
B
C
.
D
)+P(
.
B
.
C
D
)=P(B)P(
.
C
)P(
.
D
)+P(
.
B
)P(C)P(
.
D
)+P(
.
B
)P(
.
C
)P(D)
=class="stub"3
4
×(1-class="stub"2
3
)×(1-class="stub"2
3
)+(1-class="stub"3
4
)×class="stub"2
3
×(1-class="stub"2
3
)+(1-class="stub"3
4
)×(1-class="stub"2
3
)×class="stub"2
3

=class="stub"7
36

(II)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5
根据事件的对立性和互斥性得
P(X=0)=P(
.
B
.
C
.
D
)=(1-class="stub"3
4
)×(1-class="stub"2
3
)×(1-class="stub"2
3
)=class="stub"1
36

P(X=1)=P(B
.
C
.
D
)=class="stub"3
4
×(1-class="stub"2
3
)×(1-class="stub"2
3
)=class="stub"1
12

P(X=2)=P(
.
B
C
.
D
+
.
B
.
C
D
)=P(
.
B
C
.
D
)+P(
.
B
.
C
D
)=(1-class="stub"3
4
)×class="stub"2
3
×(1-class="stub"2
3
)+(1-class="stub"3
4
)×(1-class="stub"2
3
)×class="stub"2
3
=class="stub"1
9

P(X=3)=P(BC
.
D
)+P(B
.
C
D)=class="stub"3
4
×class="stub"2
3
×(1-class="stub"2
3
)+class="stub"3
4
×(1-class="stub"2
3
)×class="stub"2
3
=class="stub"1
3

P(X=4)=P(
.
B
CD
)=(1-class="stub"3
4
)×class="stub"2
3
×class="stub"2
3
=class="stub"1
9

P(X=5)=P(BCD)=class="stub"3
4
×class="stub"2
3
×class="stub"2
3
=class="stub"1
3

故X的分布列为
X012345
Pclass="stub"1
36
class="stub"1
12
class="stub"1
9
class="stub"1
3
class="stub"1
9
class="stub"1
3
所以E(X)=0×class="stub"1
36
+1×class="stub"1
12
+2×class="stub"1
9
+3×class="stub"1
3
+4×class="stub"1
9
+5×class="stub"1
3
=class="stub"41
12

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