首页 > 若n∈N*，(1+2)n=2an+bn（an，bn∈N*）．（1）求a4+b4的值；（2）证明：bn=(1+2)n+(1-2)n2；（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+2

若n∈N*，(1+2)n=2an+bn（an，bn∈N*）．（1）求a4+b4的值；（2）证明：bn=(1+2)n+(1-2)n2；（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+2

题目简介

若n∈N*，(1+2)n=2an+bn（an，bn∈N*）．（1）求a4+b4的值；（2）证明：bn=(1+2)n+(1-2)n2；（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+2

题目详情

若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an，bn∈N*）．
（1）求a4+b4的值；
（2）证明：bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
；
（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+
2
)n]=2bn-1．当n为奇数时，上述结果是否依然成立？如果不成立，请用bn表示[(1+
2
)n]（不必证明）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）(1+
2
)4=
C04
+
C14
•
2
+
C24
(
2
)2+
C34
(
2
)3+
C44
(
2
)4=12
2
+17，
所以a4=12，b4=17，a4+b4=29．                               …（3分）
（2）当n为偶数时，(1+
2
)n=
C0n
+
C1n
•
2
+
C2n
(
2
)2+…+
Cnn
(
2
)n，bn=
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…+
Cnn
(
2
)n，
而(1-
2
)n=
C0n
+
C1n
•(-
2
)+
C2n
(-
2
)2+…+
Cnn
(-
2
)n，(1+
2
)n+(1-
2
)n=2[
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…+
Cnn
(
2
)n]，
所以bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
成立．                                  …（6分）
当n为奇数时，(1+
2
)n=
C0n
+
C1n
•
2
+
C2n
(
2
)2+…+
Cnn
(
2
)n，bn=
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…+
Cn-1n-1
(
2
)n-1，
而(1-
2
)n=
C0n
+
C1n
•(-
2
)+
C2n
(-
2
)2+…+
Cnn
(-
2
)n，(1+
2
)n+(1-
2
)n=2[
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…+
Cn-1n-1
(
2
)n-1]，
所以bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
成立．                                …（9分）
（3）由（2）可得2bn=(1+
2
)n+(1-
2
)n是正整数，-1＜1-
2
＜0，所以当n为偶数时，0＜(1-
2
)n＜1，…（12分）
则有2bn-1＜(1+
2
)n＜2bn，
所以2bn-1是不超过(1+
2
)n的最大整数，[(1+
2
)n]=2bn-1．     …（14分）
当n为奇数时，[(1+
2
)n]=2bn．                                  …（16分）

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