你能化简（a－1）(a99＋a98＋a97＋……＋a2＋a＋1)吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a－1）(a＋1)=；(a－1)(a2＋a＋1)=；(a－1)(a3＋

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你能化简（a－1 ）(a⁹⁹＋a⁹⁸＋a⁹⁷＋……＋a²＋a＋1) 吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1 ）先填空：（a－1 ）(a＋1)=             ；(a－1)(a²＋a＋1)=           ；
           (a－1)(a³＋a²＋a＋1)=                ；……
           由此猜想(a－1) (a⁹⁹＋a⁹⁸＋a⁹⁷＋……＋a²＋a＋1)=                          ．
（2 ）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
           ①2¹⁹⁹＋2¹⁹⁸＋2¹⁹⁷＋……＋2²＋2 ＋1 ；
           ②若a⁵＋a⁴＋a³＋a²＋a＋1=0 ，则a⁶等于多少？

题型：探究题难度：中档来源：同步题

答案

解：根据题意：
（1 ）（a-1）（a+1）=a2-1 ；
           （a-1）（a2+a+1）=a3-1 ；
           （a-1）（a3+a2+a+1）=a4-1 ；
       故（a-1）（a99+a98+a97+ …+a+1）=a100-1 ；
（2）利用（1）所得出的结论：
           ①2199+2198+2197+ …+2+1= （2-1）（2199+2198+2197+ …+2+1）=2200-1 ；
           ②a5+a4+a3+a2+a+1=（a－1）（a5+a4+a3+a2+a+1）=a6－1=0，
           故a6=1．

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