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> 已知an=(1+2)n(n∈N*).(1)若an=a+b2(a,b∈Z),求证:a是奇数;(2)求证:对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=k-1+k.-数学
已知an=(1+2)n(n∈N*).(1)若an=a+b2(a,b∈Z),求证:a是奇数;(2)求证:对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=k-1+k.-数学
题目简介
已知an=(1+2)n(n∈N*).(1)若an=a+b2(a,b∈Z),求证:a是奇数;(2)求证:对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=k-1+k.-数学
题目详情
已知
a
n
=(1+
2
)
n
(n∈
N
*
)
.
(1)若
a
n
=a+b
2
(a,b∈Z)
,求证:a是奇数;
(2)求证:对于任意n∈N
*
,都存在正整数k,使得
a
n
=
k-1
+
k
.
题型:解答题
难度:中档
来源:江苏二模
答案
(1)由二项式定理,得an=
(1+
2
)
n
=
C
0n
+
C
1n
(
2
)
1
+
C
2n
(
2
)
2
+
C
3n
(
2
)
3
+…+
C
nn
(
2
)
n
,
又an=a+b
2
(a,b∈Z),
∴a=
C
0n
+
C
2n
(
2
)
2
+
C
4n
(
2
)
4
+…,
∵2
C
2n
+22
C
4n
+…为偶数,
∴a是奇数.…(4分)
证明:(2)由(1)设an=
(1+
2
)
n
=a+b
2
(a,b∈Z),
则
(1-
2
)
n
=a-b
2
(a,b∈Z),…(5分)
∴a2-2b2=(a+b
2
)(a-b
2
)=
(1+
2
)
n
•
(1-
2
)
n
=(1-2)n,…(6分)
当n为偶数时,a2=2b2+1,存在k=a2,使得an=a+b
2
=
a
2
+
2b
2
=
k
+
k-1
,…(8分)
当n为奇数时,a2=2b2-1,存在k=2b2,使得an=a+b
2
=
a
2
+
2b
2
=
k-1
+
k
,…(9分)
综上,对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=
k-1
+
k
. …(10分)
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已知an=(1+2)n(n∈N*).(1)若an=a+b2(a,b∈Z),求证:a是奇数;(2)求证:对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=k-1+k.-数学
题目详情
(1)若an=a+b
(2)求证:对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=
答案
又an=a+b
∴a=
∵2
∴a是奇数.…(4分)
证明:(2)由(1)设an=(1+
则(1-
∴a2-2b2=(a+b
当n为偶数时,a2=2b2+1,存在k=a2,使得an=a+b
当n为奇数时,a2=2b2-1,存在k=2b2,使得an=a+b
综上,对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=