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已知函数f（x）=2x2+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）若F（x）在x=1处取得极小值，求F（x）的极大值；（Ⅱ）若F（x）在区间(0，14)上是增函数，求实数a的取值范

题目简介

已知函数f（x）=2x2+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）若F（x）在x=1处取得极小值，求F（x）的极大值；（Ⅱ）若F（x）在区间(0，14)上是增函数，求实数a的取值范

题目详情

已知函数f（x）=2x2+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若F（x）在x=1处取得极小值，求F（x）的极大值；
（Ⅱ）若F（x）在区间(0，
1
4
)上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=3，问是否存在与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线？若存在，判断有几条？并加以证明，若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：合肥模拟

答案

（Ⅰ）F（x）=f（x）+g（x）=2x2+ax+lnx，
∴F′(x)=4x+a+class="stub"1
x
(x＞0)，又F（x）在x=1处取得极小值
∴F'（1）=4+a+1=0，∴a=-5，F（x）=2x2-5x+lnx
∴F′(x)=4x-5+class="stub"1
x
=
4x2-5x+1
x
=
(4x-1)(x-1)
x
(x＞0)
x(0，class="stub"1
4
)		class="stub"1
4
(class="stub"1
4
，1)		1（1，+∞）
F'（x）+0-0+
F（x）↗极大值↘极小值↗
∴F（x）的极大值为F(class="stub"1
4
)=-class="stub"9
8
-2ln2．
（Ⅱ）由F（x）在区间(0，class="stub"1
4
)上是增函数得
当x∈(0，class="stub"1
4
)时，F′(x)=4x+a+class="stub"1
x
≥0恒成立，设h(x)=-(4x+class="stub"1
x
)
则a≥h（x），又h′(x)=-(4-class="stub"1
x2
)=
1-4x2
x2
＞0，∴h（x）在(0，class="stub"1
4
)上是增函数，
∴a≥h（x）max，a≥h(class="stub"1
4
)=-5，即实数a的取值范围为[-5，+∞）．
（Ⅲ）当a=3时，f（x）=2x2+3x，g（x）=lnx，∴f'（x）=4x+3，g′(x)=class="stub"1
x
．
设直线l与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）
则y1=2x12+3x1，y2=lnx2
∴l：y-（2x12+3x1）=（4x1+3）（x-x1），即y=（4x1+3）x-2x12
又l过点B（x2，y2）且f'（x）=g'（x），∴y2=（4x1+3）x2-2x12且4x1+3=class="stub"1
x2

∴lnx2=（4x1+3）x2-2x12，∴-ln（4x1+3）=1-2x12
方程2x12-ln（4x1+3）-1=0有根，设φ（x）=2x2-ln（4x+3）-1，
则φ′(x)=4x-class="stub"4
4x+3
=
4(4x2+3x-1)
4x+3
=
4(4x-1)(x+1)
4x+3
(x＞-class="stub"3
4
)
当x∈(-class="stub"3
4
，class="stub"1
4
)时，φ'（x）＜0，φ（x）是减函数，
当x∈(class="stub"1
4
，+∞)时，φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，
∴φ(x)min=φ(class="stub"1
4
)=-class="stub"7
8
-ln4＜0．
又当x＞-class="stub"3
4
且x趋向于-class="stub"3
4
时，φ（x）趋向于+∞，
∴φ(
e5-3
4
)=2(
e5-3
4
)2-lne5-1＞2(
25-3
4
)2-6＞0，
∴φ（x）在区间(-class="stub"3
4
，class="stub"1
4
)、(class="stub"1
4
，+∞)上各有一个根．
∴与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线存在，有2条．

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